Asal sayılar Nedir? Diğerlerinden Ne Farkı Vardır?

Asal sayılar! Nereden geliyor asallıkları?

Birden başlıyorsun saymaya, asal sayılar kendine bölünebiliyorlar, bir de bire. İşte bu sayılara asal sayı diyoruz. (Doğal sayılar içinde!)

Mesela bu tanıma bir sayısının kendisi giriyor, ilk asal sayı bir. 

Sonra sırada iki var. İki aynı zamanda tek çift asal sayı. Çünkü diğer çift sayılar aynı zamanda ikiye de bölünebildikleri için asal sayı tanımına uymuyorlar.

Üç de bir sonraki asal sayı. Aynı zamanda benim en sevdiğim.

Ama bakın dört asal değil, dördü ikiye de bölebilirsiniz. Yukarıda dediğim gibi çift sayılardan iki haricinde asal olan yok.

Sıradaki sayımız olan beş ise yine asal bir sayı. Çünkü beş beşten ve birden başka bir şeye bölünemiyor. Beş aynı zamanda bayrağımızdaki yıldızın da uçlarının sayısı. Yani ben beşi de çok severim.

Altı ise hem ikiye hem de üçe bölünebildiği için yine asal sayı listesine girememiş.

Sıradan gidecek olursak yedi de asal sayı, yine sadece kendisine ve bire bölünebiliyor. Haftanın yedi gün olması ilginç olmuş değil mi? Niye yedi günde karar vermiş eskiler acaba? Gerçi bunu daha önce haftanın günlerinde incelemiştim. 

Sahi günlere de ben kendimce yeni isimler koymuştum.

***

Bir sonraki asal sayımız ise onbir. Çok uzağa gitmeyin, bir sonraki ise on üç. Böyle birbirine bir sayı arayla asal sayı olanların özel bir yeri var asal sayılar içinde.

Ancak sonrasında artık ara açılmaya başlıyor. On yedi sıradaki, on dokuz da bir sonraki. Bu ikisi de o özel yeri olan asal sayılardan.

Ardındaki yirmi üç sonrasında epey bir seyrekleşiyor asal sayıların araları. 

Ama yine beklenmedik şekilde birbirine yakın olan bir başka ikili çıkıyor karşımıza, yirmi dokuz ile otuz bir sıradaki asal sayılar.

Aradaki otuz yediyi saymazsak, kırk bir ve kırk üç de öyle.

Hayır, tabii ki tüm asal sayıları saymayacağım bu yazıda.

Asal sayılar böyle uzayıp gidiyorlar. Sonsuz sayıda asal sayı var.

***

Küçük sayılar tamam da, sayılar büyüdükçe bir sayının asal sayı mıdır, yoksa değil midir anlaması oldukça zor oluyor tahmin edeceğiniz gibi.

Aslında tarihte bu konuya kafayı takmış epey bir düşünür olmuş. Nasıl olur da anlarız büyük bir sayının asal olup olmadığını?

***

Bu durumda gelin biraz da asal sayıların tarihçesine bakalım.

İlk kez kim farkına varmış acaba kimi sayıların böyle bir özelliği olduğunun?

Asal sayıların ilk bahsi M.Ö. 1550 yılına ait olduğu düşünülen ve Antik Mısır’dan kalma bir papirüs üzerinde geçiyormuş. Bu papirüsün adı Rhind Papirüsü. Papirüs adını Mısır'da papirüsü satın alan İskoç antikacı Alexander Henry Rhind’ın soyadından almış. Orijinali şu anda Londra’da, British Museum’daymış.

Günümüzden hesaplarsak 3570 yıldan fazla süre geçmiş papirüsün yazıldığı. Demek ki Antik Mısırlılar gerçekten matematikte epey iyilermiş.

***

M.Ö. 300 yıllarında yaşamış olan ünlü Antik Yunan matematikçi Öklid (Euclid) de asal sayılar üzerine uğraşmış ve 13 ciltten oluşan eseri Elementler’de sonsuz sayıda asal sayı olduğundan bahsetmiş.

M.Ö. 200 yıllarında yaşamış olan Eratosthenes ise kendi adıyla anılan bir algoritma geliştirerek (Eratosthenes eleği) asal sayı üretmenin yolunu bulmuş.

17’nci yüzyıla kadar asal sayılar üzerinde çok bir çalışma yok.

Ardından Fermat, Euler ve Gauss gibi ünlü matematikçiler asal sayılar üzerinde bazı çalışmalar yapmışlar. Daha sonra bu konu üzerinde çalışmalar yapan başkaları da olmuş.

Günümüzde ise asal sayıların dağılımıyla alakalı olan Riemann Hipotezi denilen bir problem var. Bu problem Clay Matematik Enstitüsü'nün çözülemeyen 1 milyon dolarlık ödüllü problemlerinden birisiymiş.

Hayır, bu probleme girmeyeceğim. Merak edenler baksınlar internetten. Hatta 1 milyon dolar kazanmak isteyenler varsa aranızda, durmayın, başlayın düşünmeye, belki çözersiniz bu ödüllü soruyu.

 

***

Asal sayılar pratikte bir işe yararlar mı?

Doğrusunu isterseniz her doğal sayının asal sayılardan oluşan bir çarpan listesi oluyor. Mesela 15 sayısının bu çarpan listesi 1, 3, ve 5. Yani her sayıyı asal sayılardan oluşan bir liste ile üretmek mümkün.

Ancak bu bilginin pratikte nasıl bir faydası olduğunu doğrusunu istiyorsanız ben bilemiyorum.

Belli çok büyük sayılarla işlem yapmak için bu bilgi kullanılıyordur. Bilgisayarlarla yapılan uzun işlemlerde belki çözümün daha hızlı bulunması için çarpanlarına ayrılarak yapılan işlemler daha kısa sürede sonuçlanıyor olabilir.

Sanırım bir de şifreleme işlerinde de asal sayılardan faydalanılıyor. Çünkü bir asal sayı üretmenin algoritması biliniyor olsa da, çok büyük bir sayının asal çarpanlarına ayıracak bilgisayar algoritması günümüzde bile henüz tam olarak çözülebilmiş değil.

Ancak sizin ya da benim günlük hayatta o kadar da işimize yarayacak şeyler değilmiş gibime geliyor benim asal sayılar.

Seyretmesi zevkli filmler hariç tabii ki bu dediğimde.

Popüler kültürde, özellikle film dünyasında asal sayılar senaryolarda kullanılmış. 

Mesela Carl Segan’ın ünlü Mesaj (Contact) adlı bilim kurgu kitabında uzaylılarla iletişim kurulması için mesajlarda asal sayıların kullanılması kurgulanmış. Aynı adla filmi de çekilmişti galiba bu kitabının.

Sizleri bilmiyorum, ama ben sayılar üzerine çekilmiş filmleri seviyorum.

Ancak özellikle eski zamanlarda yaşamış olan kimi matematikçilerin bir sayılarla ilgili bir konuya kafayı takıp hayatlarını bu uğurda harcamış olmalarını da pek anlamıyorum.

***

Son olarak asal sayılara doğada rastlıyor muyuz peki?

Evet, rastlıyoruz. Mesela arada rastlanan dört yapraklılarını saymazsak, yonca yaprağı üç yaprakçıktan oluşur.

Bizim daçada ben yedi yaprakçıktan oluşan yaprağı olan çiçek de bilmiyorum.

Ancak tam olarak asal sayılarla ilintili bir şey istiyorsanız, bir cins ağustos böceğinin ömrünün çok uzun süresini toprak altında geçirdiği ve yüzeye ya 7 yıl sonra, ya 13 yıl sonra, ya da 17 yıl sonra çıktıkları gözlenmiş. Kimi biyologlar bunun bir tesadüf olmadığına inanıyorlarmış.

***

Evet, matematik doğanın dili, asal sayılar da bu dilin alfabesinin özel harfleri gibi. Belki bir gün gerçekten asal sayıların kimi bilinmeyen sırlarını çözebilen birileri çıkar sayılara ilgi gösterenler arasında.

Gerçekten matematikte çok özel sayılar olabiliyor. Asal sayılar o kadar da özel olmasalar da, sanırım en asal olan sayılar.

Matematikle kalın.

Moskova’dan herkese sevgi ve saygılarımla.