Fourier Dönüşümü

FFT nedir bilen var mı?

Hızlı Fourier dönüşümü (Fast Fourier Transform).

Wikipedia bir dizinin ayrık Fourier dönüşümünü (DFT) ya da ters ayrık dönüşümünü hesaplayan bir algoritmadır diye tanımlamış. 

Evet bu bir matematiksel algoritma. 

Hayır korkmayın, sizi bu yazıda formüllere boğmayacağım. Belki biraz tarihsel gelişiminden bahsedebilirim bu algoritmanın bulunuşu hakkında, sanırım biraz da ne işe yarıyor ondan bahsedebilirim.

Zaten formülleri oldukça karışık şeyler, bir takım kompleks sayılar da içeren ve oldukça karmaşık formüller.

***

Aslında her şey 19’uncu yüzyıl başlarında atom bombasının keşfi ile başlıyor.

Önce Amerikalılar kendi topraklarında birtakım nükleer denemeler yapıyorlar ve tabii ki Japonya’ya, Hiroşima’ya ve Nagazaki’ye atılan atom bombaları.

Ardından da ülkeler arasında bir nükleer bomba yapma yarışı başlıyor.

Bu durumun kontrol altına alınması gerektiği kısa sürede anlaşılınca da uluslararası konferans toplanıyor ve nükleer denemelere kısıtlama getiriliyor. 

Sovyetler birliği dahil, tüm ilgili ülkeler havada, denizde ve uzayda nükleer deneme yapmayacakları üzerine anlaşma imzalıyorlar.

Dikkat ettiyseniz yeraltında demedim, sadece havada, denizlerde ve uzayda! 

Sovyetler Birliği yeraltı denemelerini durduracağı konusunda garanti vermiyor.

***

Peki bu konunun FFT ile ne ilgisi var diyebilirsiniz. O kadar sabırsız olmayın, birazdan anlayacaksınız.

Ancak önce şu soruma cevap verin lütfen. 

Normal bir deprem sarsıntısı ile yer altında yapılan bir nükleer denemeden kaynaklı sarsıntıyı nasıl birbirinden ayırt edersiniz?

Unutmayın, üstelik 19’uncu yüzyıl ortalarından bahsediyoruz, ikinci dünya savaşı henüz bitmiş ve soğuk savaş başlamış. Dünya iki kutuplu olmuş ve ne Amerika Sovyetlere ne de Sovyetler Amerikalılara güvenmiyorlar. 

Ortam casusluk olaylarının had safhada olduğu bir ortam ve her iki kutup da diğer tarafın nükleer kapasitesini merak ediyor. Bu yüzden de yaptığı nükleer denemeleri takip ediyor.

Tamam, havada suda ya da uzayda bir deneme yapılırsa göz önünde olacaktır bu deneme ve taraflar anlaşma yapmışlar, yasak!

Ama yeraltı denemelerini nasıl belirleyeceksiniz?

Henüz sismografı cihazları da o kadar gelişmiş değiller. Bugün dünyanın öteki ucunda da olsa az büyüklükteki depremleri bile hisseden cihazlar henüz o günlerde yoklar. 

Üstelik kaydetseniz ne olacak yer sarsıntılarını, ayırt etmek mümkün mü nükleer deneme mi yapıldı, yoksa deprem mi oldu?

***

Jean-Baptiste Joseph Fourier 1768-1830 yılları arasında yaşamış bir matematikçi ve fizikçi.

Yaptığı çalışmalar arasında ısı transferi ve titreşimler üzerine kendi adı ile anılan bir takım analizler de var. 

Bu analizler neticesinde Fourier titreşim dalgalarının harmonisi üzerine bir takım formüller geliştirmiş ve maddeler arası ısı transferleri miktarlarını bu dönüşüm formülleri ile hesaplamış.

İşte titreşim dalgalarının matematiksel olarak analiz edilmesi için kullanılan bu formüllere Fourier dönüşümleri deniyor. 

***

Fourier dönüşümleri uygulanarak analiz edilen yeraltı titreşim dalgaları titreşimin bir deprem titreşimi mi, yoksa bir patlamadan kaynaklı titreşim mi olduğunu gösterebiliyor.

Ancak her şey bu kadar basit değil.

Bu formüller hem çok karışık formüller hem de analiz edilmesi gereken titreşim kayıtları çok fazla. 

Değil o günlerin henüz başlamış bilgisayar teknolojisi ile bu analizleri yapabilmek, bugünün yüksek bilgisayar teknolojisi ile bile bu yoğunlukta hesap yapmak imkânsız.

İşte bu noktada FFT’ye geliyoruz. Hızlı Fourier Dönüşümü!

***

Aslında bu konudan bahsederken ayrık Fourier dönüşümleri (DFT, Discrete Fourier Transform) konusuna da girmek gerekli, ancak bu oldukça karışık bir konu olduğu için sadece 1805 yılında Carl Friedrich Gauss’un yayınlanmamış notları arasında bu konunun da geçtiği yıllar sonra fark edilmiş diyerek konunun bu kısmını geçiyorum.

Evet, 1965 yılında James Cooley ve John Tukey bugün FFT olarak bilinen ve her türlü dalga bilgisi üzerinde uygulanılabilin hızlı Fourier dönüşüm algoritmasını keşfetmişler. 

Bu algoritmanın çok benzerinin 1805 tarihinde Gauss tarafından da keşfedilmiş olduğu ise çok sonraları anlaşılmış.

Başkan Kennedy ile yapılan bir toplantıda Richard Garwin’e konudan bahseden John Tukey, Garwin’in bu yöntemle sismik dalgaların analizlerini artık yapmanın mümkün olduğunu anlamasını sağlamış ve FFT sadece sismik dalga analizleri ile de sınırlı kalmamış.

***

Bugün cep telefonlarımızın iletişiminden tutun, internet bağlantılarımız dahil, bilgisayarlarımızdaki bilgi kayıt sistemleri dahil, veri sıkıştırılması mümkün olan her türlü konuda ve hızlı veri aktarımı ile iletişim yöntemlerinde FFT algoritması kullanılıyor. 

Normalde terrabitlerce büyüklükteki bir bilgiyi logaritmik boyutlarda küçülterek, oldukça az hale getirebilen bu dönüşümler sayesinde çok büyük bilgiler hızlı ve kısa sürelerde aktarılabiliyorlar.

Bugünün karekod teknolojisi bile bu algoritmadan faydalanıyor. 

Dijital olarak cep telefonumuzla çektiğimiz bir resim bile bu algoritma ile sıkıştırılarak kayıt altına alınıyor.

***

Bugün artık FFT ile başlayan bu veri sıkıştırma yöntemleri çok daha fazla geliştirildi. 

Artık hayatımızın hemen her yerinde kullanılır hale geldi. 

Ancak bu konuda belki de hayatını harcamış bilim insanlarını hiç kimse tanımıyor.

Üstelik her şeyin soğuk savaş yıllarında Sovyetlerin yeraltı nükleer denemelerini tespit etmek için başlaması da ayrıca ironi içeriyor.

Moskova’dan herkese sevgi ve saygılarımla.