Kuantum Sayılar Kümesi

Şimdi öyle küçük bir sayı hayal edin ki, o sayı 1 ile 0,99999… diye giden sayının farkı olsun.

Ama zaten 0,9999… sayısı 1’e eşit değil mi?

İspatı da basit, çarpın 0,9999… sayısını 10 ile, 9,9999… elde edeceksiniz. Çıkarın bu sayıdan 0,9999… sayısını, kalan sayı 9 olur! 

Aynı şeyi 1 ile de yaparsanız, 1’in 10 katı 10’dur, 1 çıkardığımızda 9 kalır. 

Demek ki 0,9999… sayısı 1’e eşittir. Matematik böyle söylemiyor mu?

Tamam, bu basit hesapla 0,9999… sayısının 1’e eşit olduğunu ispat edebiliyor gibi görünüyoruz da, yine de biri 0,9999… sayısı, diğeri ise 1 sayısı. 

Yani bana göre eşit olsalardı iki ayrı gösterimde sayı olmazlardı. 

Sanırım bu da bir gerçek!

Hem bu ispat işleminde aslında 0,9999… sayısının 1’e eşit olduğunu tam olarak ispat etmiş oluyor muyuz ben pek emin değilim? 

Bir düşünün, sonuçta 0,9999… sayısı ile başlıyoruz hesaba, ama önce 10 ile çarpıyoruz, sonra da 0,999… sayısını bundan çıkartıyoruz. 

Bence aslında ispat ettiğimiz şey 1 ile 10 arasındaki farkın 9,999… ile 0,999… arasındaki farka eşit olduğudur, ki her iki fark da 9 çıkıyor zaten hesaptan. 

Bu bize 1 ile 0,999… sayılarının eşit olduğunu ispat etmez gibi sanki!

Tamam matematik bu, ve matematikte ispatlar böyle yapılıyor, bu kadarını anlayabiliyorum. 

Yine de şahsen ben bu ispattan yeterince tatmin olmuyorum. 

Bence yine de her iki sayı arasında ucu sonsuza kadar uzansa da küçücük bir fark var!

Öyle olmasaydı ikisini farklı farklı göstermezdik! 

Bir der geçerdik her ikisine de. Ama baksanıza, eşitliğini ispat etmeye çalıştığımıza göre her ikisi de farklı sayılar aslında.

Bu da basit Aristo mantığı!

***

Evet, gelin biz her iki sayı arasında böyle küçücük bir fark olduğunu baştan kabul edelim ve bir de öyle analiz etmeye çalışalım durumu.

Bu arada sonsuzluk kavramı matematikte birçok diğer kavram gibi bir ön kabule dayanıyor. 

Sonsuz x sayı = sonsuz

Sonsuz - sayı = sonsuz

Bunun gibi sonsuzluk kavramı üzerine ortaya konmuş bir sürü ön kabul var.

Yani matematikte nasıl ki bazı konularda ön kabullerimiz oluyor, sonsuzluk konusu da aynı, küsuratının ucu sonsuza kadar uzanan bir sayıyı 10 ile çarptığımızda küsuratı ilk sayımızın küsuratı ile aynı kalır ön kabulü ile yapıyoruz yukarıdaki ispat hesabını.

Halbuki sonsuz uzunluktaki küsuratı olan bir sayıyı çarpım işlemine tabi tutuyoruz. Küsuratın değişip değişmeyeceğine bence o kadar da emin olamayız.

***

Neyse, işte benim aklımdaki ispat için kullanılabilecek denklem şöyle:

Lamda=1-0,9999… diye çok küçük bir sayının varlığını baştan kabul edelim diyorum ben.

Bu sayı 0,0000…..001 gibi bir sayı olsun. 

Virgülden sonraki sağa doğru giden basamaklar sonsuz sayıda olsun ve o sonsuz uzaklıktaki son noktada en son 1 sayısı olsun.

 

Nasıl olacak o iş? Hem sonsuz uzunlukta basamak diyoruz, hem de sonu var gibi sonuna bir sayısını koyuyoruz! 

Hem sonsuz hem sonlu? Mümkün mü bu dediğimiz?

Neden olmasın?

Matematik bir takım ön kabullere dayanır demiyor muyduk?

Mesela eksi bir sayının karekökü olmaz ama koskoca bir kompleks sayılar kümesi düşünülmüş eksi birin (-1) karekökü ile. 

Bu bahsettiğim matematiksel gösterimi “i” olan “karekök eksi bir” sayısı tamamen farazi bir sayı!

Matematikteki gerçek sayılar dünyasında böyle bir sayının olması mümkün değil. 

Ama tanım gereği matematikteki kompleks sayılar dünyasında var bu sayı ve bu sayı kullanılarak bilim dünyasında bir sürü faydalı hesap yaptığımız oldukça karmaşık formüller geliştirilmiş.

Yani benim ön kabulüm de lamda dediğim bu küçücük sayının var olması üzerine.

Bence lamdanın varlığı matematiğe aykırı değil!

***

Sizce de uygunsa şimdi gelin işlemimize devam edelim:

0,999…. sayısı da bu durumda “1 - lamda” oluyor.

Matematiksel olarak 0,9999… sayısına “x” dersek, denklemimiz ise:

x = 1 - lamda 

oluyor.

***

Neydi ispat yöntemimiz? 

Eşitliğin her iki tarafını da önce 10 ile çarpıp sonra her iki taraftan “x” çıkartıyorduk değil mi?

Eşitliğin sol tarafında bu durumda 9.x kalır. Hesaplarsak 10.x - 1.x = 9.x eder.

Sağ tarafta ise : [10 - 10.lamda - x] kalacaktır. 

Bu noktada karar vermemiz gereken bir şey var!

[10.lamda] değerine artık yine 0,0000….001, yani “lamda” diyebilir miyiz acaba?

10 kat lamda normalde 0,0000….010 ediyor, ama virgülden sonraki basamaklarda en son basamaktan sonraki sıfırların bir etkisi yoktur diye de bir kural var!

Diğer yandan da aradaki sonsuz sayıdaki basamaklardan biri eksilmiş oluyor, ama “sonsuz eksi bir” yine “sonsuz” olduğuna göre basamak sayısını değişmemiş sayabiliriz. 

Bu da bir ön kabul! 

Sonsuzluk kavramının ön kabulü!

Bu durumda 0,000….001 sayısı 0,000….010 sayısına eşit oluyor gibi görünüyor. 

Sonuçta her ikisinde de arada sonsuz sayıda basamak yani sıfır var ve her ikisinin de sonunda 1 sayısı var. 

Konu virgülden sonraki basamaklar olduğu için 0,000….010 sayısının sonundaki sıfırın da bir hükmü yok!

İşte geldik yine bir kafa karışıklığına! 

Bu ön kabullerimizle çarpma işleminin tanımına uyarsak ispat yöntemimize göre “lamda”nın on katını almamız gerekiyor ve lamda sayısının 10 katı bize görünüşe göre lamda sayısının kendisini veriyor! 

Bu sonuç doğru mudur tam emin değilim, ama görünüşe göre doğru olduğunu kabul etmek zorundayız. 

Bakalım nereye çıkacak bu hesabın sonu!

***

Neyse, yani eşitliğimiz bu durumda her iki taraftan çıkardığımız “x” ile birlikte:

9.x = 10 - lamda - x 

şekline dönüşmüş oluyor.

x ise “1 - lamda” olduğuna göre eşitliğin sağ tarafındaki “x” yerine bu değeri girdiğimizde eşitliğimiz:

9.x = 10 - lamda - (1 - lamda) 

oluyor.

Eşitliğimizi düzenlersek denklemimiz: 

9.x = 10 - 1 + lamda - lamda

olur ki, bu durumda (+/-) lamdalar birbirini götüreceği için geriye:

9.x = 9 

kalır.

Buradan da x = 1 değerine ulaşırız.

Yaşasın, evet ispat ettik! 9,99999… sayısı, yani “x” 1’e eşitmiş!

***

Ama yine de bir sorun var sanki?

“x” için başta “1 - lamda” dediğimize göre, eşitliğimiz “1 = 1 - lamda” oluyor ve buradan da “lamda = 0” değerine ulaşıyoruz.

Hadi bakalım karar verin şimdi, lamda sıfıra mı eşit? Yoksa lamda = 0,000…01 mi?

Benim aklım karıştı biraz. 

Ben o kadar da ikna olmadım bu sonuçtan!

Gelin biz ispat için kullandığımız yöntemi biraz değiştirelim ve başta eşitliğin her iki tarafını 10 ile çarpmak yerine 9 ile çarpalım. 

En azından sağlama yapmış oluruz, bir de bu yolu deneyelim.

Bu durumda ilk basamak işleminizin sonucu:

9.x = 9 - 9.lamda 

olacaktır.

[9.lamda] denilen sayı ise bu durumda 0,000…09 olacaktır! Çarpım yapıyoruz sonuçta!

Sonra bir ‘“x” çıkartıyorduk değil mi eşitliğin her iki tarafından?

Bu durumda eşitliğimiz:

8.x = 9 - 9.lamda - x

oluyor ve sağ taraftaki “x” yerine “1 - lamda” değerini girersek:

8.x = 9 - 9.lamda - (1 - lamda)

oluyor. Buradan da :

8.x = 8 - 8.lamda 

değerine ulaşıyoruz.

Çok uzatmayacağım, buradan ulaşacağımız sonuç yine:

x = 1 - lamda

olacaktır, yani 0,9999… ve lamda değerimiz de baştaki gibi 0,0000….01 olacaktır.

Lamda = 0,000…01 değerini zaten baştan biz vermiştik. 

Bu durumda 1 sayısı ile 0,9999…. sayısı eşit olmuyor!

***

Bir yoldan gidersek lamda =0 buluyoruz, diğer yoldan gidersek lamda = 0,0000…001 oluyor.

Peki ne yapacağız?

Kimi durumlarda 0,9999… sayısının 1’e eşit olduğunu ispatlayabiliyoruz, ama kimi durumlarda da bu eşitliğin ispatı mümkün olmuyor.

Hatta yukarıdaki ikinci denemede, yani “x=1-lamda” eşitliğini 9 ile çarptığımız durumda ikinci işlemimizde “x” sayısını eşitliğin iki tarafından çıkartmak yerine her iki taraf ile toplasak yine 0,9999… sayısının 1’e eşit olduğunu ispatlayabiliyoruz.

Çünkü [9.lamda] değeri (0,000….01 x 9 hesabından 0,000…09)  çıksa da, buna bir lamda daha eklediğimizde yine [10.lamda] değerine ulaşıyoruz ve [10.lamda] değeri yukarıda detaylıca irdelediğimiz gibi yine “lamda”ya eşit oluyor.

Aslında bu durum sonsuzluk kavramının tanımında kilitleniyor, biraz da ondalık düzende işlem yapmamıza.

Baştan dedim ya nasıl olacak o iş diye, hem sonsuz diyoruz, hem de sonunda 1 var diyoruz. 

Yani bir yandan sayımızın bir sonu olduğunu baştan kabul ediyoruz, ama bir yandan da sonsuz basamağı olduğunu düşünüyoruz sayımızın. 

Karışıklık bundan kaynaklanıyor olabilir mi?

Yanlış ön kabul, yanlış sonuç! 

Bu mudur yani varacağımız sonuç!

Gerçek sayılar dünyasında 0,000….01 diye bir sayı olamaz! Bu sonuca mı varmış oluyoruz sonuçta?

Kafam karıştı doğrusu!

***

Peki, tamam. 

Ancak gerçek sayılar dünyasında “i” diye de bir sayı olamaz! 

Ama matematikte “i” diye bir sayı var, kompleks sayılar dünyası! Bu sayı kompleks sayılar dünyasında var!

“i” sayısının var olduğu bir ön kabul ile tespit edilerek “i” ile bir sürü  işlem yapılıyor.

Yukarıdaki işlemlerde de lamda=0,000…01 diye bir sayının varlığını bir ön kabul olarak tespit etsek ve kimi durumlarda bu sayının değeri (sıfır) 0’dır, kimi durumlarda da 0,000…01’e eşittir desek bakın bambaşka bir matematik dünyasına adım atmış oluruz!

Demek ki lamda sayısının varlığını bir ön kabul olarak tespit edip biz de kompleks sayılar gibi başka bir sayı kümesi oluşturabiliriz!

***

Bu durum bana kuantum dünyasındaki atom altı parçacıkların davranışlarını anımsattı.

Hani diyoruz ya bir elektron aynı anda hem oradadır, hem de burada.

Aynen öyle, bu kadar küçük sayılar dünyasında bir sayı hem sıfır değerinde, hem de 0,000…01 değerinde olabiliyor demek ki!

***

Aman Allah’ım, matematikte kübiti buldum!

Hem sıfır, hem bir değerinde olan bir bit bilgi demek ya kübit bilgisayar dünyasında. 

(Buradaki “bit” böcek olan bit değil, bilgisayar dünyasındaki bit! Aynı fare gibi!) 

Kuantum bilgisayarlar bitlerle değil, kübitlerle çalışırlar. 

Bir bit değerindeki bilgi ya “sıfır (0)”oluyor, ya da “bir (1)” değerinde oluyor. 

Bir kübit ise hem “sıfır” hem “bir” değerinde oluyor, (0/1) .

İşte yukarıdaki hesaplardan ben de lamda sayımızın hem (0) sıfır, hem de 0,000…01 değerinde olabildiğini ispatlamış oldum.

Bu konu üzerine yoğunlaşıp hesapları geliştirmem gerekli, belki “kompleks sayılar” kümesi gibi “kuantum sayılar” kümesi oluşturup ciddi formüller geliştirilebilir bu yöntemle! 

Belli mi olur, gerçekten matematikte yeni bir çığır açmışımdır!

***

Neyse, ben bakayım bakalım internete, var mı bu dediğimi düşünen bugüne kadar. Belki birileri benden önce akıl etmiştir kuantum sayıları! Çok sevinmeyeyim hemen öyle!

Matematikle kalın diyerek bitiriyorum yazıyı. Evrenin dili matematiktir ve matematik bazen çok ilginç olabiliyor. Baksanıza kuantum sayılar bile var gibi matematik dünyasında.

Moskova’dan herkese sevgi ve saygılarımla.