Site İçi Arama

egitim

Matematiğin Prensi Kimdir?

Bir öğretmenin kısa sürede çözemeyeceklerini düşünerek öğrencilerine sorduğu ve sonucunu kendisinin bile bilmediği bir soru, bir matematik dâhisinin, Matematik Prensinin ilk buluşunu daha ilkokulda bir öğrenciyken yapmasına neden olur.

Günlerden bir gün, bir ilkokulda matematik öğretmeni sınıfta öğrencilerinin sınav kâğıtlarını okuyup değerlendirmek ister. Ancak öğrenciler o kadar çok gürültü yaparlar ki öğretmen bir türlü yapması gereken işe tam olarak odaklanamaz. Sonunda öğrencilerine, onları uzunca bir süre meşgul edecek zor bir problem sormaya karar verir. Öğrencileri toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini zaten bilmektedir. Bir süre düşündükten sonra öğretmen, öğrencilerinden 1’den 100’e kadar olan sayıları alt alta yazıp toplamalarını ister. Sonra da bu problemin onları bir hayli uğraştıracağından emin bir şekilde sınav kâğıtlarını değerlendirme işine kaldığı yerden devam eder. Sınıfta gereken sessizlik artık sağlanmıştır. 

Ancak bu durum uzun sürmez ve birkaç dakika içinde öğrencilerinden biri elini kaldırarak problemi çözüp sonucu bulduğunun söyler. Öğretmen büyük bir şaşkınlık içinde sonucun kaç çıktığını sorar öğrencisine. Zira öğretmenin kendisi de sonucun ne olması gerektiği konusunda en ufak bir fikre sahip değildir. Öğrencisi sonucun 5050 olduğu yanıtını verince öğretmen bu kez daha büyük bir merakla bu sonuca nasıl ulaştığını sorar öğrencisine. Öğrencisi aşağıdaki yanıtı verir şaşkınlık içindeki öğretmenine;

“Önce 1’den 100’e kadar olan bütün sayıları hayalimde tek satır halinde küçükten büyüğe doğru sıraladım. En baştaki sayı olan 1 sayısı ile en sonda yer alan sayı olan 100 sayısını topladım. Sonuç 101 çıktı. Satırda geriye kalan sayılara baktım. Geriye 2’den 99’a kadar olan sayılar kalmıştı. En baştaki 2 sayısı ile en sondaki 99 sayısını toplayınca da yine aynı sayıyı yani 101 sayısını buldum. Bu şekilde devam edersem en baştaki sayı ile en sondaki sayıların toplamlarının hep 101 olacağını düşündüm. Sayıları ikişer ikişer topladığımdan,  en sonunda elimde 100’ün yarısı kadar, yani 50 tane 101 olacaktı. Son bir işlem olarak da 101 ile 50’yi çarpınca 5050 sonucunu buldum.”

Öğretmenini şaşkınlık içinde bırakan bu öğrencinin hayal gücünü kullanıp sadece birkaç işlemle sonucu nasıl bulduğunu aşağıdaki şemayı kullanarak daha iyi anlayabiliriz;

Yukarıdaki toplama işlemlerinin toplam sayısı 100 / 2 = 50 olduğundan ve her bir toplama işleminin sonucu da 101 çıktığından 1’den 100’e kadar olan sayıların toplamı 50 x101 = 5050 olur. Daha açık şekilde ifade edersek, 1’den 100’e kadar olan sayıların toplamını bulmak için aşağıdaki denklemi kullanabiliriz;

                                                             100 (1 + 100 )

1 + 2 + 3 + ……….+ 98 + 99  + 100 = _____________  =  5050

                                                                       2

Bu öğrencinin kim olduğunu merak ediyorsanız söyleyeyim; ünlü Alman matematikçi Carl Friedrich Gauss. Bir öğretmenin kısa sürede çözemeyeceklerini düşünerek öğrencilerine sorduğu ve sonucunu kendisinin bile bilmediği bir soru, bir matematik dâhisinin, namı diğer “Matematik Prensi” Gauss’un ilk buluşunu daha ilkokulda bir öğrenciyken yapmasına neden olmuştu.

Gauss’un bulduğu bu yöntem bize sadece 1’den 100’e kadar olan sayıların toplamını bir çırpıda bulma olanağı vermekle kalmaz, örneğin 1’den 1.000.000’a kadar, hatta 1’den 1.000.000.000’a kadar olan sayıların toplamını da sadece birkaç işlem yaparak kısa sürede bulma olanağı sağlar. 

Bir genelleme yapmak gerekirse, n sayısı ne kadar büyük olursa olsun, 1’den n’ye kadar olan bütün sayıların toplamını bulmak için 1 ile n sayısını toplayıp (tıpkı 1 ile 100 sayısını topladığımız gibi)  n’nin yarısı ile çarpmamız (tıpkı 100’ün yarısıyla çarptığımız gibi) gerekir. Bu söylediklerimizi matematiksel simgeler kullanarak aşağıdaki gibi daha kısa bir şekilde ifade edebiliriz;

                                                                           n (1 + n)

1 + 2 + 3 + ……….+ (n – 2) + (n – 1)  + n = ______________          

                                                                                 2

Bu denklem matematikte Gauss formülü olarak bilinir ve okullarda bizlere ezbere öğretilen formüllerden sadece biridir. Oysa ilginç ortaya çıkış öyküsü ve türetilmesinin ardında yatan derin hayal gücü ve yaratıcılık iyi anlaşıldığında insana tuhaf bir keyif veriyor. Sonuç olarak, bir problemi çözmenin birden fazla yolu olabilir ve bazen çok yorucu ve uzun zaman alan yöntemler yerine, yaratıcılık ve hayal gücü kullanılarak çok daha az zahmetle kısa sürede çözüm bulmamızı sağlayabilecek çözüm yöntemleri bulunabilir. Önemli olan alışılmışın dışında düşünebilmektir.

Araştırmacı Yazar  Gürsel TANRIÖVER
Araştırmacı Yazar Gürsel TANRIÖVER
Tüm Makaleler

  • 11.05.2024
  • Süre : 3 dk
  • 339 kez okundu

Google Ads