Türev Deyince Ne Anlıyorsunuz?

Matematikte en zor konulardan biri nedir?

Türev!

Evet, türev çok zor bir konu matematikte.

Peki türev ne demek? 

Sözcük anlamı bana bir şeylerden türemiş bir şeyi anımsatıyor. Bir şeyin türevi, yani bir şeyden türemiş başka bir şey.

Nedense matematikteki terimleri Türkçeleştirirken türev adını vermiş Atatürk eski adıyla matematikteki “müştak” işlemine.

Bu işlemi bulan Isaac Newton! 

Gerçi Leibniz de o zamanlarda bulmuş aynı işlemi, yani bugün Calculus dediğimiz matematiğin temel kitabı her ikisine de atfediliyor.

Daha önce yazmıştım bu konuyu.

***

Bugün matematikte Atatürk’ün zamanında türettiği bir sürü terim kıllanıyoruz. 

Bakın bu cümlede bile türetme terimini kullandım ben. Türev kesinlikle türetmeye ilgili olmalı.

Niye Atatürk türev demiş acaba bu işleme?

Zaten ondan sonra da kimse oturup matematik terimleri üzerine bir daha kafa yorup düşünmemiş, doğru dürüst yeni terim türetmemiş.

Bence matematikteki terimler üzerine biraz düşünmeliyiz. 

Bugün gerçekten Türkçe olmayan birçok sözcük kullanmak zorunda kalıyoruz.

***

TDK sözlüğüne bakıyorum türev nedir diye, aklım iyiden iyiye karışıyor.

TDK türevi matematik için “değişken artması sıfıra giderken, fonksiyonun artmasının değişken artmasına oranının limiti” diyerek açıklamaya çalışmış ve bence karmakarışık bir açıklama yapmış.

Wikipedia’da ise türev “diğer sayı kümeleri üzerindeki fonksiyonlar için de genellenmiş olmasına rağmen öncelikle reel değerli, yani reel sayılardan reel sayılara giden tek değişkenli fonksiyonlar için tanımlanmış, herhangi bir teğetin herhangi bir eğriye x ekseniyle yaptığı pozitif yönlü açının tanjant değeridir.” denilerek oldukça uzun ve teknik, bir o kadar da karışık bir açıklama ile anlatılmaya çalışılmış.

Etimolojik sözlük zaten sözcüğün etimolojisinin “türemek” fiilinden geldiğini belirtmiş ve türemek sözcüğüne bakın demiş. Türemenin anlamı belli zaten. Matematiksel karşılığı konusunda bir şey yazmamış.

***

Nedir bu türev denilen şey bilen var mı?

Ne işe yarar? 

Günlük hayatta bir faydası var mıdır?

Lisede hangi sınıfta öğrenmiştik hatırlamıyorum, son sınıfta olabilir. Üniversitenin ilk senesinde de matematik derslerinde oldukça detaylı şekilde öğrenmiştik.

İnşaat mühendisliğinde özellikle su mekaniği derslerinde bir çok formül için türev işlemleri kullanırız biz. Diğer dallara ait derslerde de bir çok yerde formüller içinde kullanırız.

Bir sürü kuralı vardır matematikteki türev işleminin, bir fonksiyonun türevini almak için çoğu kuralı da ezberlemek zorundasınızdır. 

Aslında bir limit işlemidir türev, ama bu limit işlemini birçokları bilmez. 

Limit işlemi de nedir demeyin şimdi, limit işte, bir şeyin limitlerine, sınırına yaklaşmak gibi bir şey. 

Okullarda öğrenciler pratikte daha çok hazır ezberden kurallarla türev alırlar, ve okul yılları bitince de ezberdeki türev kuralları unutulur gider.

Zaten günlük hayatta öyle pek de işimize yaramaz türev denilen işlem.

Aslında basit tanımıyla bir fonksiyonun herhangi bir noktada eğimini bulmamıza yarayan bir işlemdir türev dediğimiz işlem.

Bu basit tanımın içinde bile “fonksiyon” diye bir terim geçtiği için, oldukça teknik bir terim olarak algıladım şimdi bu tanımı.

Bu tanımı anlamak için önce fonksiyon nedir onu anlamak lazım.

Fonksiyon dediğimiz şey bir ya da daha çok değişkene bağlı yazılmış bir formül demektir ve işin içine formüller ve değişkenler girmişse uğraş dur çözmeye, ne fonksiyon, ne de türev pratikte kullanışı olmayan bir şey gibi geliyor insana.

Kimileri ben sosyal bilimler okudum, matematiğe aklım basmıyor benim diyebilir.

Haklıdır da böyle diyenler. Gerçekten sosyal bilimlerde matematiğin türev işleminin yeri hiç yok.

Günlük yaşamımızda da pratik bir faydası yok aslında türevin.

Ama nedense matematik derslerinde öğretirler işte.

Arada birkaç kişi bilimsel konulara meraklı olacak da, türevdir, integraldir meslek hayatında kullanacak.

Sırf bu sebeple onca genci uğraştırır dururlar okullarda.

***

Ama bakın eğer hayattan bahsediyorsak borsada türev işlemler diye bir şey var.

Bankaların da türev ürünler diye sunduğu bir takım yatırım ürünleri var.

Para ile ilişkili olanlar en azından bu terimi günlük konuşmalarında kullanıyorlar. Anlamını bilmeseler de hiç olmazsa türev diye bir şeylerin finansal dünyada da var olduğunu biliyorlar.

Türev ürünler, “değeri bir dayanak varlığın değerindeki değişimlere göre değişen ürünlerdir. Riskten korunmak veya belirli seviyede risk alarak getiri yükseltmek amacıyla kullanılırlar. En tipik özellikleri, vade dolayısıyla zaman ve spot piyasadaki fiyat dalgalanmaları nedeniyle değişkenlik değerlerinin olmasıdır” diye açıklanmış bir kaynakta.

Bakın türev ürünler deyince yine değişken bir şeylerden gidiyor bahis. Ama risk almaktan da bahsediyor bu açıklama. 

Demek ki türev ürünler riskli ürünler oluyorlar. Ama şansın varsa getirisi de yüksek olabiliyor! 

Şansını kendin yaratabilir misin?

Belki, eğer dikkatli olursan ve doğru zamanda doğru şeye yatırım yaparsan, bir de doğru zamanda o yatırımını sonlandırabilirsen olabilir.

Finansal konudaki türevin matematikle bir ilgisi olabilir mi acaba?

Sanmam, türev işlemler, ya da türev ürünler dedikleri türevin direk anlamına uygun konular. 

Bence işte burada tam olarak uygun anlamda kullanılmış türev sözcüğü.

***

Biz dönelim yine matematikteki türeve.

Türeve aslında bir dağa tırmanırken dağın bulunduğumuz o yerdeki eğimidir de diyebiliriz. 

Bir anlamda kullandığımız aracın hızına da türev diyebiliriz.

Baktığımızda aracın hız kadranında gördüğümüz o hız değeri aslında yolun zamana göre türevidir.

Gittiğimiz güzergahın yolculuk süresine göre matematiksel bir fonksiyonunu yazabilmiş olsak, kadrana baktığımız o andaki hız değeri yazdığımız o yol-zaman fonksiyonunun o andaki türev değerine eşittir. 

Yani yol-zaman fonksiyonun türevi hız fonksiyonudur.

Bakın günlük hayatta da türevin bir yeri var aslında. 

Sadece biz farkında değiliz.

Bir ara öyle gaza basmışım ki, baktım hız göstergesi 160 km/saat gösteriyor.

Yani yol-zaman grafiğinin en yüksek eğimi bir ara 160 km/saat olmuş. 

Grafiğin o andaki eğimi maksimum hız değerini verir.

Gördünüz mü, aynı zamanda türev eğim anlamına da geliyor.

***

Amacım tekrar lise yıllarına döndürüp sizi matematiğin karışık kuruşuk formüllerine girerek kafanızı tekrar bulandırmak değil.

Aslında bu yazıya matematikte kullanılan türev işlemine daha anlaşılır bir terim bulabilir miyiz diye düşünerek başlamıştım.

Tamam, türev Türkçe bir sözcük, ulu önderimiz kendisi düşünmüş bu terimi. Bunca yıldır matematikte oturmuş bir terim aslında, buna da bir itirazım yok.

Ancak bence tam olarak işlevine ve gerçek anlamına uygun bir terim değilmiş gibi geliyor bana türev terimi.

Biraz önce yazdığım gibi finansal konularda tam da işlevine uygun kullanılmış türev ürünler denildiğinde, ancak matematikte bence tam olarak uygun anlamını almamış.

Sözlükte bile oldukça zorlanmışlar tanımlamak için, ve bence zaten doğru tanımlayamamışlar. 

Birilerinin sözlükteki tanıma bir kere daha bakmasında fayda var. En azından anlaşılır bir tanım olmamış, daha anlaşılır bir şekilde düzeltilmeli.

***

Sizce ne olabilir türev yerine kullanılabilecek anlamına uygun bir başka sözcük?

Pratikte hayattaki kullanım yerini anlatmaya çalıştım biraz önce. 

Sanki biraz değişim ile ilgili bir işlemmiş gibi geliyor bana türev.

Bir fonksiyonun aldığı değerlerdeki değişim oranı!

Tamam, türev bir fonksiyondan türetilmiş bir başka fonksiyon sonuçta, ama prensipte o fonksiyonun değişimi ile ilişkili yeni bir fonksiyon elde ediyoruz türev işlemi yaparak.

Hem integral de aynı türev gibi bir fonksiyondan türetilmiş bir başka fonksiyon. Ne farkı var ki o zaman türev ile integralin?

Hani enflasyon hızı düşüyor diyorlar ya, enflasyon oranındaki aşağı yönlü değişimden bahsediyorlar bunu derken. Yani aslında fiyatların düştüğünü söylemiyorlar. 

Enflasyon eğrisinin eğimi biraz azalmış, biraz boynunu aşağıya kırmış, hepsi bu! Enflasyon eğrisinin türevi negatif değerler vermese de öncesine nazaran biraz düşük değerler vermeye başlamış.

İnanıyorsanız inanın tabii ki TÜİK verilerine. Enflasyonun belini kırdık falan diyenler bence sallıyorlar bol kepçeden.

Fiyatlar tam gaz artış eğiliminde.

İşte türev dediğimiz enflasyon eğrisinin eğimidir mesela. Beli kırıldı dedikleri biraz eğimi azalmış sadece.

***

Sonuçta türev sözcüğünün Avrupa dillerindeki karşılığı derivasyondur.

Bu sözcük de dilimize Fransızcadan geçmiş olsa da, özünde Latince kaynaklı bir sözcüktür. 

Derivasyon tüneli deriz biz inşaatta, bir nehir üzerine bir baraj yapmadan önce dağın içine bir tünel yapılır ve nehrin yatağı değiştirilerek nehir o tünele yönlendirilir. Böylece nehrin baraj yapılacak yerinde su problemi olmadan inşaat işlerine başlanır. 

Derivasyon tüneli suyun yönünü değiştirmeye yarar.

Latince derivasyon sözcüğü de “rivus” ırmak, nehir sözcüğünden türetilmiştir, (İngilizce river!). Nehrin yönünü değiştirmek, başka yöne çevirmek anlamındadır. De-river etmek. 

Avrupa dillerinde türev yerine kullanılan derivasyon sözcüğünün anlamı birazcık olsun matematikte yapılan işlemle ilgili bir anlam diyebiliriz, ama bence onlar da tam anlamını ifade edememişler.

Bence türev yerine değişim fonksiyonu denilebilir mesela, çünkü fonksiyonun değişim fonksiyonunu veren işlemdir, grafiksel olarak eğimini verir türev fonksiyonu. Ama önce fonksiyon yerine Türkçe bir karşılık bulmalıyız. 

Toplum biliminde fonksiyon yerine “işlev” sözcüğü kullanılıyor. 

Bence matematikte de bu terim kullanılabilir. Oldukça da oturur anlamına. Sonuçta matematikte fonksiyon dediğimiz şey bir ya da daha fazla değişkeni bir işleve tabi tutarak bir sonuç elde edebildiğimiz bir işlem.

Demek ki “fonksiyon” yerine “işlev”, “türev” yerine de “değişim işlevi” diyebiliriz.

Ama türev sözcüğü bunca zamanda iyice oturmuş işte dilimize, niye değiştirelim ki?

Türev güzel de, insanlar anlamıyor ne olduğunu, bir de çok zor bir şeymiş gibi geliyor türev deyince, gizemli bir işlem gibi geliyor. 

Anlamına uygun bir adı olsa bence türev işlemleri daha akılda kalır olur.

“Bir işlevin değişim işlevi şöyle hesaplanır!”

Böyle fena olmadı sanki. Çok fazla işlev oldu gerçi cümlenin içinde, ama biraz daha düşünsek belki daha güzel bir sözcük de bulabiliriz türev yerine. 

Direk eğim desek mesela?

“Bir işlevin eğimi şöyle hesaplanır!”

İşlevin eğimi olur mu? Böyle olmadı bence.

Sadece değişim desek?

“Bir işlevin değişimi şöyle hesaplanır!”

Oldu galiba.

***

Bakın şimdi de hesap sözcüğü takıldı aklıma, hesap da Türkçe değil, Arapçadan geçme dilimize. 

Hesap yerine ne desek acaba?

Gerçi hesap uzmanları falan da var, dilimize oldukça oturmuş bir sözcük hesap.

Sonra hesap vermek terimi de var.

Hesap verebilir olmak önemlidir!

Birilerinin oturup en azından matematikte yeni terimler türetmesinde fayda var gibi geliyor bana. 

Atatürk başlatmış bu değişimi, ama her zaman olduğu gibi onun ardından kulağımızın üstüne yatmışız.

Değiştirilmesi gereken o kadar çok matematik terimi var ki! Trigonometri terimleri, sinüs, kosinüs, tanjant, rasyonel sayılar, kompleks sayılar, seriler, integral sonra… Matematik sözcüğü bile Latince.

Zaten bir çoğumuzun aklı basmıyor matematiğe, bir de bir sürü garip terimlerle öğreniyoruz matematiği.

Sahi matematik öğretiyorlar okullarda halen daha değil mi?

Yoksa ne gereği var deyip vaz mı geçtiler matematik derslerinden?

Ben takip edemiyorum artık okullardaki son müfredatı.

Sosyal bilimlerde matematiğin yeri yok diye tümden kaldırsalar matematiği müfredattan inanın şaşırmam ben.

***

Matematik önemlidir.

Matematikle kalın.

Moskova’dan herkese sevgi ve saygılarımla.