Minkowski Geometrisi Nedir?

Matematiği sever misiniz?

Ben okul yıllarımda rakamlarla oynamayı oldukça çok severdim. Üniversitede matematik derslerinde seriler konusu geldiğinde biraz hevesim kaçtı gerçi, ama yine de notlarım hep iyiydi matematik derslerinde.

Daha çok da grafiklerle uğraşmak hoşuma giderdi.

Grafikler konuları görsel olarak da anlamak için oldukça faydalıdır.

Gelin bugün sizinle bir grafik çizelim.

Geçen gün ışık hızı üzerine bir yazı yazmıştım, takip edenler bilir. 

O yazıda hız nedir formülü ile yazmıştım. 

Aslında zaten hepimiz biliyoruzdur hızın ne demek olduğunu. Aramızda hız sevenler de olabilir.

Ancak hız bilimsel olarak gittiğimiz bir yolda ne kadar sürede ne kadar yol gittiğimizi gösteren izafi bir değerdir, yani formülü ile:

Hız=mesafe/süre

Bu durumda biraz matematik bilgisi ile eğer hızımızı biliyorsak geçen süreyi hesaba katarak gittiğimiz mesafenin formülünü de yazabiliriz:

Mesafe = Hız x süre

Bu formül hızımızı biliyorsak süre ile mesafe arasında bir bağlantı kurmak için kullanılabilir. 

Süre, yani zaman belli bir katsayı ile aynı zamanda mesafe demek!

***

İşte Einstein’ın matematik hocası olan Hermann Minkowski bu mantık ile uzayı, yani matematiksel olarak (x), (y) ve (z) koordinatlarının yanına bir de zaman (t) boyutunu katabileceğimizi fark etmiş. 

Böylece Newton fiziğindeki üç boyut yerine Minkowski ile evrenin dört boyut ile tarif edilebileceği anlaşılmış.

***

Grafikler diyordum ya, aslında geometri de diyebiliriz, matematiğin en güzel dallarından biri de geometridir.

Geometri denince de en bilinen geometri teoremi Pisagor Teoremidir. 

Bu teorem Sisamlı Pisagor diye bilinen ve Antik Yunan’da M.Ö.570 - M.Ö.495 yılları arasında yaşamış olan ünlü matematikçinin bulduğu bir teorem.

Kısaca teoreme göre bir dik üçgenin dik kenarlarının kareleri toplamı hipotenüsünün karesine eşittir.

a2 = b2 + c2

***

Albert Einstein bugün bilinen en akıllı bilim insanı.

Geliştirdiği teorilerle günümüz fizik dünyasında çığır açmış. 

Ancak bu teorileri aslında tek başına geliştirebilmesi mümkün değil, o kendisinden önce yaşamış, ya da onun zamanındaki diğer bilin insanlarının fikirleri ile aynı zamanda hocalarının ona öğrettiklerini iyi analiz edebilen birisi.

Matematik bilgisi de bir matematikçi kadar değil. Ancak fizik konularında kendisine yetecek kadar. 

Matematik hocası Hermann Minkowski (1894-1909) Einstein’ın 1905 yılında Annalen der Physik dergisinde ortaya koyduğu teorisi olan “Özel Görelilik”de bahsettiği “zaman, mekân ve hareketin birbirlerinden bağımsız olmadığı” görüşünü matematiksel olarak formüle oturtan kişi.

Bunu yaparken de Pisagor Teoreminden faydalanıyor. Yani geometriden!

Minkowski bir noktadan diğer bir noktaya belli bir hızda gidişi sembolize etmek için bu iki noktayı bir ekseni zaman bağlantılı mesafe, yani yukarıda yazdığım haliyle (mesafe=hız x süre), diğer ekseni de sadece mesafe olan bir grafiğe oturtuyor ve Einstein’ın ortaya koyduğu kavram olan hız arttıkça zamanın kısalmasını da ortaya çıkan dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamı hipotenüsün karesine eşittir prensibinde küçük bir değişiklik yaparak formüle oturtuyor.

Çıkan formül: 

v= hız,

t= süre,

x=mesafe 

v2 x T2 = v2 x t2 - x2

Burada (T) ile ifade edilen belli bir hız ile gidilirken hissedilen süre olarak düşünülmüş.

Aynı formül üç boyutlu bir uzayda:

v2 x T2 = v2 x t2 - x2 - y2 -z2

olarak düzenlenebilir.

Bu yeni geometriye Minkowski geometrisi deniyor.

***

Tabii ardından Einstein sabit hızlarda öngördüğü “Özel Görelilik” teorisini geliştirecek ve Kasım 1915 yılında “Genel Görelilik” teorisi adıyla Prusya Bilimler Akademisi’nde bilim dünyasına sunacak.

Ancak hocası Hermann Minkowski 1909 yılında hayata gözlerini yumduğu için teorinin matematiksel formüle oturtulması konusunda bir zamanlar öğrencisi olan eşi Mileva Maric dışında (1919 yılında Milena ile boşanacaklar ve ardından Einstein ikinci eşi Elsa ile evlenecek!) arkadaşı olan matematikçi David Hilbert’in yardımıyla Albert Einstein “Genel Göreliliğin formüllerini nihayet oturtur ve artık uzay-zaman bükülmesi dediğimiz ve formüllere dahil edilen kütle ve ivme ile Newton’un yerçekimi dediği kuvvet tarihe karışır.

Evet, genel görelilik Newton fiziğinin aksine evrende kütle çekimi diye bir şeyin olmadığını söylemektedir. 

Albert Einstein cisimler bize sebebi maddenin çekim kuvveti gibi gelen ve yerçekimi diye nitelendirdiğimiz birbirlerine doğru hareketlenmeyi uzay ve zamandaki bükülme yüzünden gerçekleştiriyorlar der.

Hocası Minkowski’nin basit bir düzlemsel geometriden yola çıkarak ortaya koyduğu zamanın hızların karesi ile ters orantılı olması ve mesafelerin de yine aynı şekilde hızın karesi ile orantılı olarak kısalması üç boyutlu uzayda ne kadar doğru formüllenmiştir bilmiyorum, ancak David Hilbert’in Lorenz dönüşümlerini kullanarak oldukça karışık halde çözebildiği Einstein’ın kütle, ivme, zaman ve üç boyutlu evreni birleştiren Genel Görelilik Teorisi bugüne kadar yapılan deneysel sınavlardan başarıyla çıkmış görünüyor.

Bu doğrusal olmayan ve karışık parabolik diferansiyel formüllerin 1916 yılında bir astrofizikçi olan Karl Schwarzschild ilk kesin ve sıfırdan farklı çözümünü yapmayı başarır ve bu çözüm Schwarzschild metriği olarak adlandırılır.

Einstein formülleri ortaya koymuştur, ancak formüller o kadar karışıktır ki, kendi bile kendi formüllerinden bir çözüm ortaya koyamamıştır.

Formüller içerisinde ise bugün “karadelik” diye adlandırdığımız ve ışık dahil etrafındaki tüm maddeleri ve enerjiyi içine çeken galaksi merkezlerindeki büyük kütle çekim olması gerektiği gizlidir. 

Bu sır Schwarzschild metriği kullanılarak daha sonraki yıllarda ortaya çıkarılacaktır. Einstein karadeliklerin varlığından habersizdir, ancak formülleri gereği kütlelerin bir noktada birikmesi gerektiğini bilmektedir.

İlk kez karadelik tabiri Einstein’ın 1955 yılında vefatından yıllar sonra, 1967’de Amerikalı astronom John Wheeler tarafından ortaya konur. 1971 yılında ise ilk fiziki karadelik keşfedilecektir.

Bugün ise karadeliklerin resmi bile çekilebildi. 2019 yılında Olay Ufku Teleskobu ile M87 galaksisinin merkezindeki karadeliğin çekilen resmi ilk karadelik resmidir.

***

Evet, matematiği sever misiniz diye başlamıştım yazıya, tazı karadeliklere kadar uzadı.

Matematiğin bazı konuları çok karışık olabiliyor. Bazen bir formül ortaya koyuyorsunuz, ama o formülü kendiniz bile çözemiyorsunuz. Albert Einstein olsanız bile çözemediğiniz şeyler oluyor.

Ancak matematik evrensel bir dil, sizin çözemediğinizi bir başkası çözüveriyor ve siz böylece yolunuza devam ediyorsunuz.

Albert Einstein için bu böyle olmuş, önce hocası Minkowski yardımcı olmuş, sonra eşi Mileva, daha sonra arkadaşı David Hilbert.

Onun ortaya koyduğu formüllerin ilk çözümünü ise Karl Schwarzschild yapabilmiş.

Kendi matematik bilmiyor muymuş?

Bilmez olur mu? O da iyi bir matematik bilgisine sahipmiş, ama o her şeyden önce bir teorik fizikçi, bir düşünür. Niye değerli vaktini matematiğin dehlizlerinde harcasın ki? Zora düştüğünde yardım almasını bilmiş.

Evet, artık ben de eskisi kadar matematikle uğraşmıyorum, iki sayıyı toplamak için bile cep telefonundaki hesap makinasını açmak kolayıma geliyor. Ezberimdeki bir sürü formülü ise çoktan unuttum zaten. Artık hemen her şeyi bilgisayarlar yardımıyla yapıyoruz ve belki de artık bizim aklımız da eski insanlar kadar çalışmıyor.

Yine de matematik güzeldir, ben halen daha bazen açıp matematik üzerine videolar seyretmesini seviyorum.

Bu arada aklım halen daha Minkowski’nin uzay-zaman bağlantısını basit bir geometri üzerine çözmüş olmasına takılmış durumda, gerçekten uzay zaman bağlantısı bu kadar basit mi? Gerçekte daha farklı bir bağlantı olmasın? 

Kara madde diyoruz, yıllardır araştırıp duruyor bilim insanları, ana bir türlü de bulamıyorlar.

Acaba Minkowski geometrisini tekrar gözden geçirmek gerekiyor olabilir mi?

Neyse, yazı çok uzadı, bugün de matematikle kalın diyerek bitireyim yazıyı.

Moskova’dan herkese sevgi ve saygılarımla