Aşil ve Yaşlı Kaplumbağa (Zenon Çelişkisi) Nedir?

Antik Yunan filozoflarından biri olan Zenon, M.Ö. 495 - M.Ö 430 yılları arasında yaşamış ilginç fikirleri olan bir adamdı. Bunlardan bir tanesi de doğadaki her tür hareketin aslında imkânsız olduğu şeklindeki düşüncesiydi. Bu düşüncesini Yunanistan’ın en hızlı koşucusu olan Aşil ile yaşlı bir kaplumbağa arasındaki bir koşu yarışını konu alan bir tür düşünce deneyi ile kanıtlamaya çalışmıştır. Şimdi bu düşünce deneyinin ayrıntılarına girelim;

Aşil zamanının en hızlı koşucusu olduğundan yarış başlamadan önce yaşlı kaplumbağaya 100 metrelik bir avans bile verir. Yarış başladıktan sonra Aşil, aradaki bu 100 metrelik farkı diyelim ki 10 saniyede kapatıp kaplumbağanın yarışa başladığı noktaya ulaşsın. Atletizm de erkeklerde 100 metre dünya rekorunun 9.58 saniye ile Jamaikalı atlet Usain Bolt’a ait olduğu düşünülürse, Aşil de oldukça hızlı bir koşucuymuş diyebiliriz. Tabii ki kaplumbağa da bu 10 saniyelik süre içersinde yarışa başladığı noktada durup Aşil’in kendisini yakalamasını beklemeyecek, Aşil kadar olmasa da 10 saniye içinde bir miktar ilerleyecektir. Diyelim ki kaplumbağa da bu 10 saniyelik süre içinde 10 metre ilerlemiş olsun. Bu da bir kaplumbağa için oldukça yüksek bir hızdır ama hesaplamada kolaylık olsun diye şimdilik böyle olduğunu varsayalım. Yapmış olduğumuz bu varsayımlar ışığında Aşil’in hızının saniyede 10 metre, kaplumbağanın hızının ise saniyede 1 metre olduğunu söyleyebiliriz. Yarışı gözümüzde daha iyi canlandırabilmek için aşağıdaki şemaları dikkatlice inceleyelim;

Yarış başladıktan 10 saniye sonra kaplumbağa Aşil’den 10 metre önde, başlangıç noktasından 110 metre ileridedir. Aşil aradaki bu 10 metrelik farkı 1 saniyede kapatıp 110 uncu metreye ulaştığında ise kaplumbağa da bu 1 saniye içerisinde yerinde kalmayıp 1 metre daha ilerleyeceğinden başlangıç noktasından 111 metre uzağa ulaşmış olacak ve Aşil’den yukarıdaki son şemada da gösterildiği gibi hâlâ 1 metre önde olacaktır.

Bu mantıktan hareketle Zenon şu sonuca varır; Aşil ne zaman kaplumbağanın olduğu noktaya ulaşsa her seferinde kaplumbağa da yerinde durmayıp az da olsa bir miktar ilerleyeceğinden, Aşil’in her zaman önünde olacaktır. Bu durum sonsuza dek hep böyle sürüp gideceğinden Aşil yaşlı kaplumbağayı hiçbir zaman yakalayamayacak ve onu asla geçemeyecektir. Zenon bu düşüncesini şu sözlerle dile getirmiştir; “Arkadaşlar yaşayan en hızlı adam bile yaşlı bir kaplumbağayı geçme şansına sahip değilse o zaman hareket kavramı tümüyle saçmadır.”

Ancak gerçek yaşamda bunun böyle olmadığını da hepimiz biliyoruz. Örneğin bir çocuk bile, hatta koşmak bir yana yürüse dahi, bu şartlarda yaşlı bir kaplumbağayı çok rahat bir şekilde yakalayıp geçebilir. Zenon çelişkisi olarak bilinen bu çelişkiyi nasıl çözebiliriz? Zenon’un yukarıda anlatılan düşünce deneyinde mantık yürüterek bulduğu ancak gerçek hayatla çelişen bu tuhaf sonuçta yanlışlık acaba nerede?

Dilerseniz, Zenon’un düşünce deneyine dönüp olaya aşama aşama daha yakından bakalım. Birinci aşamada, 10 saniye geçmekte ve Aşil bu süre içerisinde 100 metre ilerleyip 100’üncü metreye ulaştığında, kaplumbağa da 10 metre ilerleyip 110’uncu metreye gelmiştir. İkinci aşamada ise geçen süre ise 1 saniyedir. Aşil bu süre içerisinde 10 metre daha ilerleyip 110 uncu metreye ulaştığında yaşlı kaplumbağa da 1 metre ilerleyip 111 inci metreye ulaşmıştır. Üçüncü aşamada da geçen süre 1/10 saniyedir. Aşil bu sürede 1 metre ilerleyip 111 inci metreye ulaşırken, yaşlı kaplumbağa da bu süre içerisinde 1/10 metre = 0,1 metre daha ilerleyip 111,1 inci metreye ulaşır.

Zenon’a göre bu aşamalar sonsuza dek sürecek ve her seferinde ardaki fark azalsa dahi Aşil kaplumbağayı asla geçemeyecektir. Zenon’a göre, aşamaların sayısı sonsuzdur ve bu da Aşil’in kaplumbağayı yakalaması için sonsuz zamana ihtiyaç duyacağı anlamına gelmektedir. Ama acaba gerçekten de aşamaların sayısının sonsuz olması zamanın da sonsuz olmasını mı gerektirir?

1 inci aşamanın süresi 10 saniye, 2 nci aşamanın süresi 1 saniye, 3 üncü aşamanın süresi 1/10 saniye olduğundan, bir genelleme yaparak herhangi bir n inci aşamanın süresini (bunu tn ile gösterelim) aşağıdaki gibi ifade edebiliriz;

Bu denklemin doğruluğunu aşama sayısını gösteren n yerine sırasıyla 1, 2 ve 3 sayılarını koyarak sınayabilirsiniz.  Denklemimizi ifade ederken, sıfırdan farklı bir a sayısı için geçerli olan 1/an = a-n eşitliği ile an am = an+m eşitliğinden yararlanıldığını da belirtmek isterim. Buna göre, başlangıçtan itibaren herhangi bir n inci aşamanın sonuna kadar geçen toplam süreyi Tn ile gösterirsek aşağıdaki denklemi yazabiliriz;

Zira Tn , 1’den n’ye kadar olan tüm aşamaların sürelerinin toplamına eşittir. Bu denklemde, tn için yukarıda bulduğumuz ifadeyi yerine koyarsak, son denklemimizi aşağıdaki gibi de yazabiliriz;

Aşama sayısı olan n sayısı sonsuza yaklaştığında, yukarıdaki denklemimizde toplanacak terimlerin sayısı da sonsuza yaklaşacaktır. Bu sonsuz toplamın sonucu olan Tn (yani toplam süre) acaba Aşil’in öngördüğü gibi sonsuz mu olur yoksa sonlu mu olur? Sonlu olursa değeri ne olur? Dilerseniz, şimdi de bu soruların yanıtlarını bulmaya çalışalım.

Eğer n sonsuza yaklaşırken, Tn’nin değeri de sonsuza yaklaşırsa, o zaman Zenon haklı olacak ve Aşil ancak sonsuz bir zaman sonra kaplumbağayı yakalayabilecektir. Bu da aslında Aşil’in yaşlı kaplumbağayı asla yakalayamayacağını söylemekle eşdeğerdir. Ama eğer n sonsuza yaklaşırken Tn’nin değeri belirli sonlu bir sayıya yaklaşırsa, o zaman da Aşil bulunan bu sonlu süre sonunda yaşlı kaplumbağayı yakalayıp onu geçebilecektir. Bu durumda çelişki de zaten çözülmüş olacaktır.

En son bulmuş olduğumuz denklemde eşitliğin her iki tarafını 10 sayısı ile böldüğümüzde aşağıdaki sonucu elde ederiz;

Burada, a ≠ 0 olmak kaydıyla (1/a)n = a-n ve anam = an+m eşitliklerinden yararlanılmıştır. Ayrıca, sondan bir önceki terimin kuvvetinin -(n-2) olduğuna da dikkat ediniz. 

Şimdi Tn ile (Tn /10) değerleri arasındaki farkı hesaplamaya çalışalım. Bundaki amacımız Tn ile ilgili başka bir ifade daha bulmak. Tn ve Tn/10 için daha önce bulduğumuz ifadeleri kullanır ve birbirini yok eden terimleri ortadan kaldırırsak aşağıdaki sonuca erişiriz;

Eşitliğin sol tarafındaki terim Tn  parantezine alınırsa aşağıdaki denklemi elde ederiz;

Buradan da Tn’yi aşağıdaki gibi bulabiliriz;

Bu denklem bizi Tn’yi hesaplamak için bir sürü toplama işlemi yapmaktan kurtaracaktır. Şimdi bulmak istediğimiz şey, bu denklemde n sayısı sonsuza yaklaşırken (yani n →∞ olduğunda), Tn’nin değerinin ne olacağıdır.  Bunu matematiksel sembollerle ifade etmek istersek;

Yukarıdaki eşitliğin en solundaki terim, n sonsuza yaklaşırken Tn’nin yaklaşacağı limit değeri göstermektedir. Bu değeri hesaplamak için üstteki denklemde paydada yer alan 10-(n-1)’in değerinin n sonsuza yaklaşırken ne olacağına bakmamız gerekir. Yani aşağıdaki soruya yanıt bulmamız gerekir;

n sonsuza yaklaşan çok büyük bir sayı olduğunda, n-1 değeri ve dolayısıyla da 10(n-1) sayısı da çok büyük bir değere yaklaşacaktır. Bu nedenle, 10-(n-1) = 1 / 10(n-1)  sayısı da sıfıra yaklaşan çok ama çok küçük bir sayı olacaktır. O halde aşağıdaki sonuca elde ederiz;

Bunu denklemimizde yerine koyarsak aşağıdaki sonucu buluruz;                                 

Buna göre, aşama sayısı n sonsuz dahi olsa toplam zaman, Tn sonlu bir sayıdır ve 11,11111. . . . saniye sonra Aşil yaşlı kaplumbağayı yakalayacaktır ve sonra da (örneğin 12 inci saniyede) onu geçmiş olacaktır. Zenon, n sonsuz olunca Tn değerinin de sonsuz olacağını düşünerek yanılmıştır. Dolayısıyla aslında ortada bir çelişki yoktur. Buradan hareketle, Aşil’in yaşlı kaplumbağayı kaçıncı metrede yakalayabileceğini de hesaplayabiliriz. Aşil saniyede 10 metrelik bir hızla ilerlediğinden, 11,11111. . . . saniye içinde tam olarak 111,11111. . . . metre ilerlemiş olacak ve yaşlı kaplumbağayı da tam olarak 111,11111. . . . . inci metrede yakalayıp geçmiş olacaktır.

Bu örnek, yapılabilecek bazı mantık hatalarının bizi nasıl yanlış sonuçlara götürüp çelişkiler yaratabileceğini gösteren ilginç bir örnek olması bakımından oldukça önemlidir.