Matematik nedir? Ne Değildir?

Doğru öğretilmemesi nedeniyle ne olduğunu tam olarak anlayamadığımız matematik çoğumuz için hiç sevilmeyen bir alan olmasının da ötesinde, bazılarımız için korku dolu bir kâbusa bile dönüşebilmiştir. Gökten zembille inmiş gibi, nereden geldikleri tam anlatılmayan, her nedense doğru olup olmadıklarının sorgulanmasına dahi gerek duyulmayan ve ne yazık ki ezberlemek zorunda bırakıldığımız çok sayıdaki matematiksel formül ve kural, öğrencilik yıllarımızda hem yaratıcılık yeteneğimizi törpülemiş hem de bizi canımızdan bezdirmeye yetmiştir.

Oysa matematik, onu gerçekten anlamaya başladığımızda, yani formül ve kurallarının nereden çıkarıldığını, nasıl keşfedildiğini öğrendiğimizde ve bu formül ve kuralların doğruluğunu gösteren matematiksel kanıtları gerçekten kavradığımızda, ilgilenmekten büyük bir keyif alabileceğimiz, hayatımıza anlam ve renk katabilecek, çok değerli bir uğraşa dönüşebilir. İnsanoğlunun anlayabildiği şeyleri sevebileceği unutulmamalıdır.

Gerçek matematik, ruhsuz formül ve kurallar yığını değildir. Gerçek matematik, sayıların ve şekillerin gizem dolu dünyasını anlamak için insanoğlunun giriştiği heyecan dolu bir keşif macerasıdır. Gerçek matematikçi ise kendini bir şekilde bu maceranın tam ortasında bulan ve bu maceranın verdiği heyecanı yüreğinin derinliklerinde hissedip bunun keyfini çıkarmaktan kendini bir türlü alamayan kişidir. Mesleği, eğitim düzeyi ve yaşı ne olursa olsun herkes matematik yapabilir; “Matematiğin Prensi” olarak adlandırılan Alman matematikçi Carl Friedrich Gauss ilk keşfini yaptığında daha ilkokulda bir öğrenciydi. Fransız matematikçi Pierre de Fermat ise aslında hukuk eğitimi almış ve yüksek mahkemede görev yapmış bir avukattı.

Matematik bir işe yarasın diye yapılmaz. Ardındaki temel harekete geçirici güç tek kelimeyle ifade etmek gerekirse meraktır. Ancak yine de matematiğin ne işe yaradığını görmek istiyorsak, etrafımıza, doğaya ve neredeyse her alanda kullanmakta olduğumuz çok çeşitli gelişmiş araç ve gerece bakmamız yeterli olacaktır; Doğa olaylarını anlayabilmemiz ve yaşamımızı kolaylaştıran araç ve gereçleri yapabilmemiz matematik sayesinde mümkün olabilmiştir. Doğayı, içinde yaşadığımız evreni ve dahası kendimizi anlamak için geliştirdiğimiz fizik, kimya, biyoloji, astronomi gibi temel bilimlerin ve bunların alt dallarının tümünün ortak dilidir matematik.

İçinde barındırdığı ilginç rastlantıları, estetik güzellikleri ve hala bir türlü çözülememiş matematiksel problemleri görüp onları gerçekten anlamaya başladıkça, yüreğinizde matematiğe karşı bir sevgi ya da en azından bir ilgi ya da merak oluşmaya başladığına sizler de bizzat tanık olabilirsiniz. Matematikle aranızdaki kimi zaman anlaşılmamaktan, kimi zaman da yanlış anlamaktan kaynaklanan kadim küskünlüğü veya bekli de nefreti sona erdirmeye yönelik bir arabuluculuk girişimi olarak, izin verirseniz sizlere biri sayıların, diğer de şekillerin sırlarla dolu dünyalarından olmak üzere iki küçük örnek sunmak istiyorum.

İlk örnek olarak, sayılarla ilgili aşağıdaki üç denkleme ya da eşitliğe dikkatlice bakalım;

Ayrıca, bir a sayısının 0 ıncı kuvveti ise daima 1’e eşit olarak tanımlanmıştır. Yani, a°=1. 

Başka bir deyişle, sıfır tane a’yı birbiriyle çarparsak sıfırı buluyoruz! Saçma buldunuz değil mi? Bu saçmalığa nasıl kabul edilebilir mantıklı bir açıklama getirilebileceği konusuna asıl konumuzdan sapmamak adına bu yazıda değinmeyeceğim.

Bir hatırlatma daha yapalım; herhangi bir a sayısının faktöriyeli a sayısının hemen yanına bir ünlem işareti (!) konularak gösterilir ve 1 sayısından başlayıp a sayısına kadar olan sayıların (1 ve a sayıları dahil) birbiriyle çarpımı, yani a! = 1.2.3….a olarak tanımlanır. Ayrıca, sıfır sayısının faktöriyeli de yine ilk bakışta size saçma görünecek ama 1 olarak kabul edilmiştir.

Bir kez daha ana konumuzdan ayrılmayalım diye, bunun neden böyle olması gerektiğini bu yazıda ele almayacağım. Bu arada, bir sayının faktöriyelini tanımlarken kullandığımız “sayı” sözcüğünden 0 sayısı ve 1, 2, 3 gibi pozitif tam sayıları kastediyoruz.

Bu hatırlatmalar ışığında, yukarıdaki üç denklemin gerçekten de doğru olup olmadığını elinize bir kâğıt, bir kalem ve bir de elektronik hesap makinesi alarak kendiniz de sorgulamaya ne dersiniz? Kim bilir, bekli de doğru değillerdir. Sizi kandırmadığım ne malum! 

İşin şakası bir yana, yukarıdaki denklemlerdeki simetriye dayalı şaşırtıcı rastlantılar sizlere de tuhaf ve heyecan verici gelmiyor mu?

İkinci örneğimiz ise şekillerin dünyasından olacak. Ama önce birkaç tanım yapmamız yararlı olacaktır. Çember, düzlemdeki herhangi bir noktadan (bu noktaya çemberin merkezi denir) eşit uzaklıkta olan ve yine aynı düzlem üzerinde yer alan bütün noktaların oluşturduğu geometrik şekil olarak tanımlanır. Yani çemberin üzerinde yer alan her nokta, bu tanım gereği çemberin merkezine eşit uzaklıktadır. Bu uzaklığa çemberin yarıçapı, yarıçapın 2 katına da çemberin çapı denir. Çemberin çapı, aynı zamanda o çember üzerinde birbirine tam karşıt konumda yer alan iki nokta arsındaki uzaklığa da eşit olur. Aşağıdaki şekil yaptığımız bu tanımlamaların daha iyi anlaşılmasına yardımcı olacaktır.

Burada ilginç bir durumla karşılaşıyoruz; çember üzerinde hangi noktayı seçersek seçelim, o noktadan çemberin çapını gören açı (ya da çemberin çapının o noktada oluşturduğu açı) her zaman 90 derecedir. 90 derecelik açılara dik açı da denir ve bunlar açının bulunduğu köşelere yukarıdaki şekilde de görüleceği gibi küçük bir kare konularak gösterilirler.

Çemberlerin insanda hayret uyandıran pek çok özelliğinden sadece birini oluşturan bu özellik, onu ilk fark eden Thales adındaki Antik Yunan filozofunun anısına Thales Teoremi olarak adlandırılmıştır. Yukarıdaki şeklin yardımıyla da görüleceği üzere, çember üzerindeki P noktasından çemberin çapı olan AB doğru parçasını gören APB açısı da bir dik açıdır, çember üzerindeki T noktasından AB çapını gören ATP açısı da yine bir dik açıdır. Bu, çember üzerindeki her nokta için her nedense hep böyledir.

Thales teoreminin doğruluğunu sınamak için elinize bir pergel ve bir açıölçer alıp yukarıdaki şeklin bir benzerini bir kâğıda çizebilir, ardından da çember üzerinde gelişigüzel herhangi bir nokta seçip bu noktadan çemberin çapını gören açıyı ölçerek bu açının 90 derece olup olmadığını kontrol edebilirsiniz. Diyelim ki, bu açının 90 derece olduğunu buldunuz. Ancak bu sonuç, Thales teoremini kanıtlamanız için yeterli değildir. Kim bilir, bekli de sizin dikkate alıp ölçüm yapmadığınız çember üzerindeki başka bir nokta için bu açı 90 derece değildir. Böyle bir tane nokta bulunması dahi Thales teoreminin yanlış olduğu anlamına gelecektir. Bu nedenle, eğer Thales teoremini kanıtlamak istiyorsanız, ne yazık ki çemberin üzerindeki “bütün” noktalar için açı ölçümlerini yapmanız gerekiyor. Bunu yapmaya da kimsenin ömrü yetmeyecektir. Acaba sizce çember üzerinde toplam olarak kaç nokta vardır? Asla sayamayacağınız kadar çok. Aslında sonsuz sayıda nokta vardır bir çemberin üzerinde. O zaman, Thales teoreminin doğruluğunu kanıtlamanın deneme yanılma dediğimiz yukarıdaki yöntem dışında bir başka yolu olmalı. Thales teoreminin matematiksel kanıtını ele almayı başka bir yazıya bırakmak sanırım daha doğru olacaktır.

Sayılarla ve şekillerle ilgili olarak vermiş olduğumuz yukarıdaki iki kısa ve basit örnek ve buna benzer verebileceğimiz daha birçok ilginç örnek, bize matematiğin gerçek olamayacak kadar mükemmel, kusursuz, ideal, kesin, tuhaf ve güzel olduğunu gösteren birer kanıttır.

Ayrıca, gerçeği ve doğruyu bulmak, yanılmamak ve yanıltılmamak için aklımızı nasıl doğru kullanabileceğimizi bize gösteren elimizdeki tek güvenilir dayanaktır matematik. Belki de bu yüzden ünlü Antik Yunan filozu ve matematikçisi Platon’un Akademisinin kapı girişinde “Matematik Bilmeyen Giremez” yazılmıştır. Matematik bilmeden ne doğayı anlayabiliriz ne de cehaletle yürütülen savaştan bir zaferle çıkabiliriz. Hem tarih hem de günümüz dünyası matematik ve bilimden uzaklaşan toplumların içine düştüğü acınası durumların örnekleriyle doludur.