Euler Sayısı Nedir? Faiz Hesaplamalarında Nasıl Kullanılır?

Bileşik faiz deyip duruyorlar, nedir şu bileşik faiz denilen şey, bilen var mı?

Evet, ben biliyorum tabii ki.

Paramızı bankaya vadeli hesaba yatırıyoruz ya, işte vade faizi dedikleri tüm hesaplarda yıllık olarak belirtilir. 

Mesela %10 faiz alacaksınız diyorlarsa parayı yatırdığınız tarihten bir sene sonra 100 liranızı geri aldığınız gibi üzerine de size 10 lira faiz ödeyecekler demektir. Buradaki %10 faiz yıllık faiz oranıdır.

Bu durumda vade sürenizi 6 ay yaptığını da altı ay sonra size 100 liranız yanında faiz olarak yıllık faiz oranının yarısına denk gelen faiz ödenir, yani örneğimizde %10 faiz dediğimiz için size 10 lira yerine yarısını, yani 5 lira vereceklerdir.

Şimdi madem 6 ay sonunda 105 liramız oldu, 105 lirayı yine 6 aylık vade süresi için %10 faiz ile tekrar vadeli hesaba yatıracak olursak, altı ay sonunda 10 lira 50 kuruşun yarısı olan 5 lira 25 kuruş alma hakkımız olacaktır.

Bu durumda bir yıl sonunda 100 liraya elimize ana para hariç 10 lira 25 kuruş geçmiş olur.

Demek ki %10 yıllık faizi olan bir 6 aylık vadeli hesabın yıllık bileşik faizi %10,25 oluyor.

Buna bileşik faiz deniyor.

***

İyiymiş!

Bu hesapla ben olsam paramı aylık vadeye yatırırım. Çok daha karlı çıkarım bu durumda herhalde. Hatta gelin şunu günlük vadeye koyalım, çok daha fazla faiz geliri olur günlük vadeli hesabın!

Evet, bankalar bunu bildikleri için faiz oranlarını vade sürelerine göre ayarlıyorlar.

Bu kadar oynak enflasyon ortamında en iyisi günlük vadeler doğal olarak, ama günlük faiz oranları maalesef yıllık vadelerden çok daha düşük oluyor.

Herkes akıllı, bir tek siz değilsiniz!

***

Peki bu şekilde vade süresini kısaltmış oksak daha az süreli vadeler ile normal şartlarda bileşik faiz normal yolluk faizden en fazla ne kadar fazla olabilir acaba?

Aslında bu bir matematik sorusu. Bunun cevabı da “e” sayısı dediğimiz sayı. Euler sayısı, 2.71828…

Yıllık faiz oranımız %100 olduğunda vade süreleri küçüldükçe ana paramız karşılığı elde edebileceğimiz maksimum bileşik faiz oranı %171,8 küsür. 

%100 faiz ile bir yıllık vadede 100 liramız 200 lira olacakken, vade sürelerini kısaltarak bir yıl boyunca paramızı daha az vadelerde yıllık %100 faiz ile yatırmış olsak yıl sonunda 100 liramız 271 küsür lira olacak demektir.

İyi oran!

Ama ne yapsak üstü olmaz! 

Vade süresini saniyeler seviyesine indirebilsek de maksimum elde edilebilecek kazanç bu kadar, daha üstü değil.

***

Euler sayısı “pi” sayısı gibi matematiğin özel sayılarından biri. Aynı zamanda bu da “pi” gibi rasyonel olmayan bir sayı, yani sonsuz sayıda küsuratı var, ne kadar uğraşırsan uğraş sonu gelmiyor. Aynı zamanda da bir aşkın sayı. Aşkın sayılar tanımı kesin sonucu bir oran ile çıkarılamayan ve bir formül ile sonucu çıkarılamayan karmaşık sayılara verilen isim.

Bu Euler sayısı adını İsviçreli matematikçi Leonhard Euler’den almış, ama aslında bu sayıyı ilk keşfeden Jakob Bernoulli olmuş.

Bernoulli 1683’de yukarıda bahsettiğim %100 yıllık faizin olabilecek maksimum bileşik faizi üzerine uğraşırken böyle bir sabit sayının varlığının farkına varır.

Ancak kendisi bu konuyu pek gündeme getirmez. 

Aradan 48 yıl geçer ve 1731 yılında Leonhard Euler Christian Goldbach’a yazdığı bir mektubunda  bu konudan “e” sayısı diye bahseder. 

Aslında “e” sayısı ne Euler, ne de Bernoulli tarafından, Bernoulli’den de önce, 1618’de logaritma üzerine çalışmalar yapan İskoç matematikçi John Naiper tarafından kitabında kimi hesaplarda yer almıştır.

Ancak bugün “e” harfi ile matematik sembolleri arasına girmiş durumda ve Euler sayısı olarak anılıyor.

***

Evet, bu sayı gizemli bir sayı!

Logaritmik hesaplarda da ilginç bir şekilde devrede, e tabanlı logaritma, yani “ln” ile sembolize edilen logaritmik hesapların özel bir yeri var matematikte. 

“e” sayısı türev ve integral hesaplarında da bolca kullanılan bir sayı.

Hatta eksi bir sayının karekökü olmasa da, hesaplarda çok işe yaradığı için çıkartılmış kompleks sayılar dünyasında da ilginç bir yeri var. 

Mesela e^(i x”pi”)=-1 diye bir eşitlik bulmuş Leonhard Euler aynı zamanda. 

e^(i x”pi”)+1=0 şeklinde de gösteriliyor bu eşitlik.

Bu eşitliğe Euler eşitliği deniyor.

Matematiğin muhteşem eşitliği diye tanımlanıyor, çünkü içeriğinde matematiğin beş gizemli sayısı var.

0 var, kavram olarak halen daha aslında oldukça gizemli bir sayı.

1 var, yine kavramsal olarak oldukça özel bir sayı, tek, birleşik, bütün!

“Pi” var, halen daha nasıl oluyor da sonunu bulamıyoruz diye benim aklımın almadığı bir sayı, sonuçta çember dediğimiz şey ve bir çemberin çapı fiziksel olarak ortaya konulabilecek şeyler olsa da, aralarındaki oran olan “pi” sayısının bir sonu yok! Bu nasıl olabiliyor, gerçekten inanmak mümkün değil.

Sonra “i” sayısı var, gerçekte karekökü alınamayacak olan -1 sayısının izafi karekökü! Kompleks sayıların dayandığı değer “i” sayısı.

Ve nihayet “e” sayısı, bileşik faiz hesabından yola çıkılarak keşfedilmiş, ama matematiğin hemen her türlü formülünde kendine bir yer bulmuş olan gizemli sayı.

***

İşte bu yüzden Euler eşitliğine matematiğin muhteşem eşitliği deniyor.

Buna benzer başka eşitlikler de var, ama sanırım bugün için bu kadar yeterli.

Matematikte daha bir sürü böyle gizemli sayı var, mesela doğanın sayısı altın oran var, sonra gümüş oran var, süper altın oran var, Laplace limiti var, Gauss sabiti var, kozmolojik sabit var…

***

Ama bana göre aralarında Euler sayısı gerçekten özel bir sayı, çünkü bu sayıyı bildiğinde eğer yaptığın şey kumar değilse hiçbir yöntemin aşırı oranda para kazandırmayacağını biliyorsun demektir. 

Kumar ise risk demektir, aynı zamanda da kötü bir alışkanlık.

Bence eğer uyanık geçinen zavallılar ordusu istemiyorsak okullarımızda Euler sayısını ve kaynağını öğretelim.

Matematikle kalın! Yanılmazsınız!

Moskova’dan herkese sevgi ve saygılarımla.